На главную
Справочник конструктораполезный сайт для инженера-машиностроителя

СПРАВОЧНИК

МЕНЮ

Решение треугольников и многоугольников

Прямоугольные треугольники 


Рис 1.

Задано а,a
Найти b,c,F

b = a ctga
c = a/sina
F = (a2ctga)/2
 

Задано b,a
Найти a,c,F

b = b btga
c = b/cosa
F = (b2tga)/2

Задано с,a
Найти a,b,F

b = c sina
c = c cosa
F = (c2sina cosa)/2 == (c2sin2a)/4        

Задано a,b
Найти a,b,c,F

tga = a/b; a = 900 - b
tgb = b/a; b = 900 - a
c = √(a2 + b2) = a/sina = a/cosa;
F = (ab)/2
 

Задано a,c
Найти a,b,b,F

 

sina = a/c; a = 900 - b
sinb = a/c; b = 900 - a
c = √(c2 - a2) = √(c + a)(c - a) = c cosa = c sinb
F = (a/2)√(c + a)(c - a) = (ac sinb) / 2
 

Косоугольные треугольники 1-й случай (общий)


Рис 2.

Задано а,b,g
Найти c,a,b,F

c = √(a2 + b2-2ab cosg)
sina = (a sing) / c
tga = (a sing) / (b - a sing)
sinb = (b sing) / c
tgb = (b sing) / (a - b cosg)
F = (ab sing)/2
 

          Задано a,b,g
или а,a,b
Найти b,c,F

a =  1800 - (b + g)
b =  1800 - (a + g)
g =  1800 - (a + b)
b = (a sinb) / sina = (a sinb) / sin (b + g)
c = (a sing) / sina = (a sing) / sin (b + g)
F = (a2 sinbsing)/(2sina) = a2/(2(ctgb + ctgg))
 

  

2-й случай a > b (поэтому b острый); b < a (рис. 2).

Задано a,b,a
Найти b,g,F

c = asinb + bcosa = (a sing) / sin a = bcosa ± √(a2 - b2sin2a)
sinb = asina / a
cosb = ±√(1 - sin2b)
g =  1800 - (a + b)
F = (ab sing)/2 = (bc sina)/2
 

 

3-й случай b > a. Треугольник не вполне определен, возможны два решения: b - 90°


 Рис.3

Задано a,b,a
Найти b,g,c,F

sinb =  bsina / a
cosb = ±√(1 - sin2b)
g =  1800 - (a + b) b
c = b cosa ± √(a2 - b2sin2a)
F = (ab sing)/2 = (bc sina)/2
 

Выражение углов треугольника через стороны и полупериметр

Задано a, b, c
Найти  a, b, g, F

Полупериметр P=(a+b+c)/2

cosa = ( b2+c2-a2)/2bc

sin (b/2) = √((P-a)(P-c)/ac)

cos (a/2) = √(P(P-a)/bc)

sinb = 2F/ac; cosg = (b2+c2-a2)/2ab

sin (a/2) = √((P-b)(P-c)/bc)

cos (g/2) = √(P(P-c)/ab)

sina = 2F/bc;  cosb = (a2+c2-b2)/2ac

cos (g/2) = √((P-a)(P-b)/ab)

cos (b/2) = √(P(P-b)/ac)

sing = 2F / ac

F = √(P(P-a)(P-b)(P-c))

3. Правильный многоугольник

n - число сторон;
c - сторона многоугольника;
R - радиус описанного круга;
r - радиус вписанного круга;
F - площадь многоугольника
 
c = 2Rsin 1800 = 2rtg 1800 ;   R= c :sin 1800 =r:cos 1800
n n 2 n n
r =   c  ctg 1800 = Rcos  1800 ;   F= n R2sin 3600 =nr2tg 1800 =n c2 ctg 1800
2 n n 2 n n 4 n

 

n

c

R

r

F

3

1,732R

3,464r

0,577c

2,000r

0,289c

0.500r

0,433c2

1,299R2

5,196r2

4

1,414R

2,000r

0,707c

1,414r

0,500c

0,707r

1,000c2

2.000R2

4,000r2

5

1,176R

1,453r

0,851c

1,236r

0,688c

0.809r

1,721c2

2,378R2

3,633r2

6

1,000R

1,l55r

1,000c

1,155r

0,866c

0,866r

2,598c2

2,598R2

3,464r2

7

0,868R

0,963r

1,152c

1,110r

1,038c

0,901r

3,635c2

2,736R2

3,371r2

8

0,765R

0,828r

1,307c

1,082r

1,207c

0,924r

4,828c2

2,828R2

3,314r2

9

0,684R

0,728r

1,462c

1,064r

1,374c

0,940r

6.182c2

2,893R2

3,276r2

10

0,618R

0,650r

1,618c

1,052r

1,539c

0,951r

7,694c2

2,939R2

3,249r2

11

0,564R

0,587r

1,775c

1,042r

1,703c

0,960r

9.364c2

2,974R2

3,230r2

12

0,518R

0,536r

1,932c

1,035r

1,866c

0,966r

11,196c2

3,000R2

3,215r2

16

0,390R

0,398r

2,563c

1,020r

2,514c

0,981r

20,109c2

3,0б2R2

3,183r2

20

0,313R

0,317r

3,196c

1,013r

3,157c

0,988r

31,569c2

3,090R2

3,1б8r2

24

0,261R

0,263r

3,831c

1,009r

3,798c

0,991r

45,575c2

3,10бR2

3,lб0r2

32

0,196R

0,197r

5,101c

1,005r

5,077c

0,995r

81,225c2

3,121R2

3,152r2

48

0,131R

0,131r

7,645c

1,002r

7,629c

0,998r

183,08c2

3,133R2

3,146r2

64

0,098R

0,098r

10,190c

1,001r

10,178c

0,999r

325,69c2

3,137R2

3,144r2

 
Справочник конструктора - Все что нужно любому конструктору! ©2008-2024