На главную
Справочник конструктораполезный сайт для инженера-машиностроителя


СПРАВОЧНИК

МЕНЮ

Элементы сопротивления материалов

9. Значение модуля продольной упругости E, модуля сдвига G и коэффициента Пуассона m
(при температуре ~ 20 °С)

Материал

Модули, МПа

Коэффициент Пуассона, ¸

E

G

Сталь

(1,86 ¸ 2,1) · 105

(7,8 ¸ 8,3) · 104

0,25 - 0,33

Чугун:      

    серый

(0,78 ¸ 1,47) · 105

4,4 · 104

0,23 - 0,27

    серый модифицированный

(1,2 ¸ 1,6) · 105

(5 ¸ 6,9) · 104

-

Медь техническая

(1,08 ¸ 1,3) · 105

4,8 · 104

-

Бронза:      

    оловянная

(0,74 ¸ 1,22) · 105

-

0,32 - 0,35

    безоловянная

(1,02 ¸ 1.2) · 105

-

-

Латунь алюминиевая

(0,98 ¸ 1,08) · 105

(3,6 ¸ 3,9) · 104

0,32 - 0,34

Алюминиевые сплавы

(0,69 ¸ 0,705) · 105

2,6 · 104

0,33

Магниевые сплавы

(0,4 ¸ 0,44) · 105

-

0,34

Никель технический

2,5 · 105

7,35 · 104

0,33

Свинец технический

(0,15 ¸ 0,2) · 105

0,7 · 104

0,42

Цинк технический

0.78 · 105

3,2 · 104

0,27

Кладка из кирпича

(0,24 ¸ 0,3) · 104

-

-

Бетон (при временном сопротивлении) (1 - 2 МПа)

(1,48 ¸ 2,25) · 104

-

0,16 - 0,18

Железобетон обычный:      

    сжатые элементы

(1,8 ¸ 4,2) · 104

-

-

    изгибаемые элементы

(1,07 ¸ 2,64) · 104

-

-

Древесина всех пород:      

    вдоль волокон

(8,8 ¸ 15,7) · 104

(4,4 ¸ 6,4) · 102

-

    поперек волокон

(3,9 ¸ 9,8) · 104

(4,4 ¸ 6,4) · 102

-

Фанера авиационная 1-го сорта:      

    вдоль волокон

12,7 · 103

-

-

    поперек волокон

6,4 · 103

-

-

Текстолит (ПТ, ПТК, ПТ-1)

(5,9 ¸ 9,8) · 103

-

-

Гетинакс

(9,8 ¸ 17,1) · 103

-

-

Винипласт листовой

3,9 · 103

-

-

Стекло

(4,9 ¸ 5,9) · 104

(2,05 ¸ 2,25) · 103

0,24 - 0,27

Органическое стекло

(2,8 ¸ 4,9) · 103

-

0,35 - 0,38

Бакелит без наполнителей

(1,96 ¸ 5,9) · 103

(6,86 ¸ 20,5) · 102

0,35 - 0,38

Целлулоид

(1,47 ¸ 2,45) · 103

(6,86 ¸ 9,8) · 102

0,4

Каучук

0,07 · 104

2 · 103

-

Стеклопласт (СВАМ1) вдоль волокон

3,4 · 104

(3,5 ¸ 3,9) · 103

-

Капрон

(1,37 ¸ 1,96) · 103

-

-

Фторопласт Ф-4

(4.6 ¸ 8,3) · 103

-

-

10. Осевые моменты инерции, моменты сопротивления и радиусы инерции плоских фигур

(Моменты инерции J даны для главных центральных осей. Радиус инерции i=√(J/F), где F - площадь сечения)

Форма поперечного сечения

Осевой момент инерции J, см4

Момент сопротивления W, см3

Радиус инерции i, см

 Круг

Jx=Jy =pd4/64=pr2/4
Jx=Jy»0,05d4

Wx=Wy =pd3/32=pr2/4
Wx=Wy»0,1d3

ix=iy=d/4=r/2

 Кольцо


c=

d1
d

Jx=Jy=
=p(d4-d14)/64=
p
d4(1-c4)/64

Jx=Jy=
=pr4(1-c4)/4

Jx=Jy»0,05d4(1-c4)

Wx=Wy =pd3(1-c4)/32
Wx=Wy»0,1d3(1-c4)

ix= iy=√(d2 + d12)/4

 Тонкостенное кольцо

 

s£

 D 
10

Jx=Jy=pD3s/8
Jx=Jy=pr3s

Wx=Wy =pD3s/4
Wx=pr2s

ix=iy=(D√2)/4=0,353D

 Полукруг

 

v0=

 2d  =0,2122d=0,4244r
3p

Jx=0,0068d4»0,110r4
Jy=
pD4/128»0,025d4

Mx=-Mz/l (0 £ z £ a)
Mx=-M(1-z/l) (0 £ z £ l)
при a=1/2 Mxmax=M/2

ix=imin»0,132d
ty=d/4

 Круговой сегмент


v0=

 c3   =      4 rsin3(a/2)        
12F 3(aop/180o-sina)

Ju=Sr3/8 - r4sinacosa/8
Jx=Ju-Fv2e
Jy=r4/8  [pao/180o - sina - 2sinasin2(a/2)/3]

Wx=Jx/(r - v0)

imin=ix=√(Jx/F)

Примечания: 
с=2rsina/2
S=prao/180o

 Круговой сектор

 

v0=

 4  r sin  a180o
 3 2 pao

Ju=r4/8 (pao/180o + sina)

Jx=r4/8 (pao/180o + sina - 64sin2(a/2)180o/9pao)

Jx=r4/8 (pao/180o - sina)

 

tx= (r/2) √(1 + sina/a0 * 1800/p  - (64sina/2) /
(9(a0p/1800)2))

iy= (r/2) √(1 - sina/a0 *1800/p)
 

 Круговое полукольцо

 

v0=

  4    r2+rr1+r12
 3p      r+r1

Jx=0,11(r4 - r14) -
- 0,283 r2r12 (r-r1)/(r+r1)

Jy= p/8 (r4 - r14

Wx=Jx/(r - v0)

ix=√(Jx/F)
iy=√(Jy/F)
где F-площадь сечения
 

 Сектор кругового кольца


v0=

4(r3-r13) sin a180o
3(r2-r13) 2 pao

Ju=(r4 - r14)(pao/180o + sina)/8

Jx=Ju - Fv20

Jy=(r4 - r14)(pao/180o - sina)/8

 

ix=√(Jx/F)
iy=√(Jy/F)

 Профиль с симметричными
 закруглениями

 

r=

d
2

Jx = bd3/12 + pd4/64
Jy = bd3/12 + pr2(r2 + b2 +1,696br)/2
 

Wx = bd2/6 + pd3/32
Wy=2Jy/(b+d)

 
 Эллипс

Jx = pab3/4 » 0,7854 ab3

Jy = pa3b/4 » 0,7854 a3b

Wx = pab2/4 » 0,7854 ab2

Wy = pa2b/4 » 0,7854 a2b

ix=b/2

iy=a/2

 Квадрат

Jx =Jy =b4/12 

Wx =Wy =b3/6 

ix=iy=b/√12=0,289b
iy=√(Jy/F)

 

 Полый квадрат

Jx =Jy =(b4- b14)/12 

Wx =Wy =(b4- b14)/6b 

ix=iy=0,289b√(b2+b12)
 

 Полый тонкостенный
 квадрат


s<

 B 
15

Jx =Jy =2B3 s/3 

Wx =Wy =4B2 s/3

ix=iy=B√6=0,408B

 Квадрат, поставленный на
 ребро

Jx =Jy =b4/12 

Wx= Wy= (√2b3)/12 =
= 0,118b3


Срез верхнего и нижнего углов увеличивает Wx при срезе углов на С=1/18 диагонали с каждой стороны момент сопротивления увеличивается до Wx  =0,124b3 

ix=iy=0,289b

 Полый квадрат,
 поставленный на ребро

Jx =Jy =(b4- b14)/12 

Wx= Wy=
= (√2(b4 - b14))/12b =
= 0,118(b4 - b14)/b
 

ix=iy=0,289√(b2+b12)

 Прямоугольник

Jx =ba3/12
Jy =ab3/12 

 

Wx =ba2/6
Wy =ab2/6 

 

ix=B√12=0,289a
iy=B√12=0,289a

 

 Прямоугольник
 повернутый


v0=

acosa bsin
         2

Jz=ba (a2cos2a + b2sin2a)/12

Wz=ba (a2cos2a + b2sin2a)/(6(acosa + bsina))

ix=0,289√(b2cos2a+b2sin2a)

 Полый прямоугольник


 

Jx = (ba3 - b1a13)/12
Jy = (ab3 - a1b13)/12 

Wx = (ba3 - b1a13)/6a
Wy = (ab3 - a1b13)/6b 

ix=√((ba3-b1a13)/
(12(ba-b1a1))

iy=√((ab3-a1b13)/
(12(ab-b1a1))

 

 Полый тонкостенный
 прямоугольник

 

s=

  H  
 51

Jx = sH3(3B/H +1)/6
Jy = sB3(3H/B +1)/6

Wx = sH2(3B/H +1)/3
Wy = sB2(3H/B +1)/3

ix = 0,289H √((3B/H +1)/
(B/H + 1))

iy = 0,289B √((3H/B +1)/
(H/B + 1))

 

 Сечение из двух равных
 прямоугольников

Jx = b(h3 - h13)/12
Jy = b3( h - h1)/12

Wx = b(h3 - h13)/6h
Wy = b2( h - h1)/6

ix = √((h2+hh1+h12)/12) =
= 0,289√(h2+hh1+h12)

iy= 0,289b


 

 Треугольник

 

v0=

3

Jx = bh3/36
Ju1 = bh3/4
Ju = bh3/12

При вычислении напряжения в вершине треугольника Wx=bh2/24
при вычислении напряжения в точке основания
Wx=bh2/12

ix=h/3√2=0,236h

 Поставленный на ребро
 треугольник


 

Jx = hb3/48

Jx = hb2/24

ix = (b√(3/2))/6 = 0,204b
 

 Трапеция


v0=

h(b+2a)
 3(b+a)

Jx=h3(b2 + 4ba +a2)/(36(b+a))

При вычислении напряжений в точках верхнего основания

Wx=h2(b2 + 4ba +a2)/(12(2b+a))

в точках нижнего основания

Wx=h2(b2 + 4ba +a2)/(12(b+2a))

ix = (h√(2(b2 + 4ba + a2)))
/ (6(b + a))
 

 Трапеция

Jx=h3(b4 - a4)/(48(b-a)) 

Wx=h(b4 - a4)/(24(b2-ba))

ix = √((b2 + a2)/24)

 Тавр


v0=

bh12+b1h(2h1+ h)
         2(bh1+b1h)

Jx=(bh13+ b1h3)/12 + bh1(v0 -h1/2)2 + hb1(h/2 + h1- v0 )2

 Jy=(hb13+ h1b3)/12 

Для нижних  волокон
Wx=Jx/v0
Для верхних волокон
Wx=Jx/( h+h1-v0)
Wy=(hb13+ h1b3)/6b 

ix = √(Jx/F)

iy = √((h1b3 + hb13)/
(12(bh1 + b1h)))
 

 Корытное сечение


v0=

bh12+2b1h(2h1+ h)
         2(bh1+2b1h)

Jx=(bh13+ 2b1h3)/12 + bh1(v0 -h1/2)2 + 2hb1(h/2 + h1- v0 )2

 Jy=(b3(h+h1)-h(b-2b1)3)/12 

 

Wx=Jx/ (h+h1-v0)
Wy=(b3(h+h1)-h(b-2b1)3)/6b 

ix=√(Jx/F)
iy=√(Jy/F)
где F-площадь сечения
 

 Крестообразное сечение

Jx=(b1h3+ (b-b1)h13)/12
Jx=(h1b3+ (h-h1)b13)/12 

Wx=(h1b3+ (b-b1)h3)/6h
Wx=(h1b3+ (h-h1)b13)/6b 

ix=√(Jx/F)
iy=√(Jy/F)
 

 Правильный шестиугольник

Jx =J y=0,06h4 
или
Jx =Jy=0,541h4 

Wx =0,12h3=0,625a3
W
x =0,541a3

 

ix=iy=0,4565a=0,257h

 Правильный
 восьмиугольник


 

Jx=Jy=Jx1=Jy1=0,0547h4 

Wx1 =Wy1 =0,1095h3
Wx =Wy =0,1012h3

ix=ix1=0,257h


Геометрические характеристики жесткости и прочности для ходовых сечений при кручении прямого бруса

Форма поперечного сечения бруса

Осевой момент инерции JK, см4

Момент сопротивления WK, см3

Положение точки, в которой возникает наибольшее напряжение t=MK/WK

 Круглое

Jk=Jp= pd4/32»0,1d4
или
Jk=Jp= pr4/2»1,57r4

Полярный момент инерции

 Jp=2J

Wk=Wp= pd3/16»0,2d3
или
Wk=Wp= pr3/2»1,57r3

Полярный момент сопротивления

 Wp=2W

Наибольшее напряжение возникает во всех точках у наружного контура поперечного сечения

 Кольцо


d1/d=a

Jk=Jp= pd4(1-a4)/32
или
Jk=Jp»0,1d4(1-a4)

Wk=Wp= pd3/16»(1-a4)
или
Wk=Wp»0,2d3(1-a4)

Наибольшее напряжение возникает во всех точках у наружного контура поперечного сечения

 Тонкостенное кольцо


s£0,1d

Jk=pd3s/4
d
- средний размер

Цk= pd2s/2

Все точки находятся в одинаковых условиях (приближенно)

 Незамкнутое тонкостенное
 кольцо


s£0,1d

Jk=pd3s/3

Jk=pd2s/3

Наибольшее напряжение возникает в точках А. В точках В напряжение t=0

 Круглое сечение с лыской


1>h/d>0,5

Jk=d4(2,6h/d - 1)/16

Наибольшее напряжение возникает в середине плоского среза (точка А). В узлах t=0 

 Круглое с круговым
 вырезом


D=2R

Jk=K1R4

Jk=R3/K2

Наибольшее напряжение возникает по дну канавки (точка А)

Значение коэффициентов K1 и K2 в зависимости от r/R

r/R

0

0,05

0,1

0,2

0.4

0,6

0,8

1,0

1,5

K1

1,57

1,56

1,56

1,46

1,22

0,92

0,63

0,38

0,07

K2

0,64

1,22

1,22

1,23

1,31

1,52

1,91

2,63

7,14

 Сплошное эллиптическое


a/b=n³1

Jk=pn3b4/(n2+1)

Wk=pnb3/2

Наибольшее напряжение возникает в точках А. В точках В напряжение t=tмах/n

 Прямоугольное


h/b³1

Jk=bhb3

Wk=ahb2

Наибольшее напряжение возникает в серединах длинных сторон сечения (в точках А), в точках В напряжение
t=gtмаx=gMx/Wx

Значение коэффициентов a, b и g в зависимости от h/b

h/b

1.00

1,20

1,25

1,50

1,75

2,00

2,50

3,00

4,00

5,00

6,00

8,00

10,00

Св. 10

a

0,208

0,219

0,221

0,231

0,239

0,246

0,258

0,267

0.282

0.291

0.299

0,307

0,312

0.333

b

0,141

0,166

0,172

0,196

0,214

0.229

0.249

0,263

0,281

0,291

0.299

0,307

0,312

0.333

g

1 00

0,93

0.91

0,86

0,82

0.79

0,77

0,75

0,74

0,74

0,74

0,74

0,74

-

 Правильный шести- или
 восьмиугольник

Jk= K'h2F

 Для шестиугольника
K'=0,133
 Для восьмиугольника
K'=0,130

F- площадь сечения

Wk= KhF

 Для шестиугольника
K'=0,217
 Для восьмиугольника
K'=0,233

Наибольшие напряжения возникают в середине сторон. В углах t=0 

 Равносторонний
 треугольник

Jk= b4/46,19 = h4/25,98

Wk= 0,0053 b3=h3/12,99 =2Jx/h

Наибольшие напряжения возникают в середине сторон. В углах t=0 

12. Расчетные данные для типовых балок постоянного сечения

    В таблице приведены: реакции A, МA (левой опоры) и B, MB (правой опоры), выражение изгибающего момента Мx = Мx(z) в произвольном сечении с координатой z (начало координат совпадает с центром тяжести левого торца балки - см схему 1), наибольший изгибающий момент Мxmax, уравнение упругой линии v = v(z); значения наибольшего прогиба vmax и углов поворота q1 и q1 соответственно крайнего левого сечения и крайнего правого сечения балки в радианах.

Для каждой балки представлены форма упругой линии и эпюра изгибающих моментов

    Внешние нагрузки обозначены: М - момент в вертикальной плоскости, совпадающей с осью бруса z; P - сосредоточенная сила и q - интенсивность распределенной нагрузки, действующие в той же плоскости; Е - модуль продольной упругости; Jx - осевой момент инерции поперечного сечения относительно оси x.

Схема закрепления балки, форма упругой линии, эпюра изгибающих моментов

Реактивные силы и моменты опор

Изгибающий момент в произвольном сечении, наибольший изгибающий момент

Уравнение упругой линии, наибольший прогиб, углы поворота крайних сечений балки

 Схема 1

MA=M

Mx=M
Mxmax=M

v=Mz/2EJ
vmax=Ml2/2EJx при z=l
q1=0  q2=Ml/EJx

 Схема 2

A=P
MA=Pl

Mx=P(z-1)
Mxmax=Pl
M

v=P(z3/3 - lz2)/2EJx
vmax=Pl3/3EJx при z=l
q1=0  q2= - Pl2/2EJx

 Схема 3

A=ql
MA=1ql2/2

Mx=q(lz-(l2+z2)/2)
Mxmax=ql2/2
M

v=q(2lz3 - 3l2z2 - z4/2)
vmax=-ql4/8EJx при z=l
q1=0  q2= - ql2/6EJx

 Схема 4

A=B+M/l

 

Mx=-Mz/l (0 £ z £ a)
Mx=-M(1-z/l) (0 £ z £ l)
при a=1/2 Mxmax=M/2 

v=M [-z3 /3l + (z-a)2 + (2a - 2l/3 - a2/l)z] / 2EJx
q1= M (6a - 3a2/l -2l)/6EJx
 При а=1/2 
q1= q2= - Ml/6EJx

 Схема 5

A=P(l-a)/l
B=Pa/l

Mx=P(l-a)z/l 
(0 £ z £ a)
Mx=-Pz(l-a)/l  - P(z-a)
(0 £ z £ l)
Mx=-P(l-a)z/l  - P(z-a)
(0 £ z £ l)
при a=1/2 Mxmax=PL/4 

v = P/6EJx * [((l-a)z3)/l - (z - a3) +((l-a)3z)/l- (l - a)lz]


Справочник конструктора - Все что нужно любому конструктору! ©2008-2017